物理与数学「点」上的差异


2020-07-23


数学上的点 (points),是指空间上的一个座标点,只有标定位置,该点不具体积。

数学和物理上有意义的点

物理学上标定物体位置所使用的点,和数学的用法相同。例如:物理上论述,某物体质心位置在 $$x=1$$,即代表该物体质心所在位置,位于座标点上 $$x=1$$ 的地方。

数学和物理上无意义的点

若某个函数在该点为不连续,

亦即 $$\lim\limits_{x\to a}f(x)\ne f(a)$$,讨论 $$f(a)$$ 无意义,仅能讨论该点的左右极限值 $$\lim\limits_{x\to a^+}f(x)$$、$$\lim\limits_{x\to a^-}f(x)$$

物理上某个物理量对空间的函数,若在该点不连续,则在物理上讨论该点的物理量是无意义的。例如:均匀带电金属球(球半径为 $$R$$,带电量 $$Q$$),

其电场函数为 $$\left\{\begin{array}{ll}E(x)=0&,xR\end{array}\right.$$

讨论 $$x=R$$ 处电场无意义,仅能讨论 $$\lim\limits_{x\to R^+}E(x)=\frac{kQ}{R^2}$$,$$\lim\limits_{x\to R^-}E(x)=0$$

物理上有意义的点,但不能以数学点解释

物理上所描述的「点」仍可以具有体积、质量、表面积等物理量。此处的点在做分析上,并不能完全等同于数学上不计体积的座标点。

例1:数学上的两个点可以重叠,但物理上所讨论的质点,其距离不可为 $$0$$,倘若如此,两点间的万有引力 $$\frac{GMm}{R^2}=\infty$$,并不合理。

例2:物理上探讨液面下某个点的压力,仍假设该点具有体积,因此上下左右各面皆可计算其压力。以数学方程式表达该点的压力即 $$P=\displaystyle\lim_{\vartriangle{A}\rightarrow{0}}\frac{F_{\perp}}{A}$$。若以数学的点来看,该点的面积为 $$0$$,则 $$P=\frac{F_{\perp}}{A}$$ 无意义。

例3:平行光经过薄透镜会聚于屏幕焦点上,但屏幕上该点仍有面积。若以数学的点来看,光线会聚于一点,根据 照度=光通量/面积,若该点面积为 $$0$$,则照度为无限大。

例4:透过细绳拉一物体作等加速度运动,探讨绳上某点张力。若以数学点来看,则该点合力为 $$0$$(因为 $$T_1=T_2$$),该点应静止不动。又该点质量亦为 $$0$$,根据 $$a=\frac{F}{m}=\frac{0}{0}$$,无法计算该点加速度大小。

所以用数学的点来讨论,不论如何讨论,皆与事实矛盾。若以物理观点来看该点,该点仍具质量,该点加速度应为 $$a=\displaystyle\lim_{\vartriangle{m}\rightarrow{0}}\frac{T_1-T_2}{m}$$。

物理与数学「点」上的差异

例5:两质点间作斜向弹性碰撞,已知质点质量为 $$m_1$$、$$m_2$$,初速度为  $$\bar{v_1}$$、$$\bar{v_2}$$。

若将质点视为数学上无体积的点,则无法计算出碰撞后两质点的末速(无唯一解)。若考虑质点半径,将速度作连心线方向的分解,即可解出两质点碰撞后的末速。在气体动力论中的理想气体,虽然假定气体分子的体积可以忽略不计,但其质点仍不能假定为数学上无体积的点。

物理与数学「点」上的差异


参考资料
1.维基百科–极限(数学)  http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(mathematics)



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